ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ЗАДАНИЕ

ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ

УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ

ВЫВОД

ЛИТЕРАТУРА


ВВЕДЕНИЕ

Современный этап научных исследований характеризуется тем, что наряду с классическим натурным экспериментом все шире применяется вычислительный эксперимент, проводимый на математической модели с помощью ЭВМ. Проведение вычислительного эксперимента значительно дешевле и мобильнее, чем проведение аналогичного натурного, и в ряде случаев вычислительный эксперимент является единственным возможным инструментом исследователя.

Математический аппарат теории планирования и обработки результатов экспериментов в полной мере может быть применен как к натурным, так и к вычислительным экспериментам. В данной контрольно-курсовой работе под проводимым экспериментом будем понимать эксперимент на математической модели, выполненный при помощи ЭВМ.

Основная задача теории планирования и обработки результатов экспериментов – это построение статистической модели изучаемого процесса в виде Y = f(X1, X2,…Xk), где X – факторы, Y – функция отклика. Полученную функцию отклика можно использовать для оптимизации изучаемых процессов, то есть определять значения факторов, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.

Объект исследования – одноцилиндровый четырехтактный дизельный двигатель ТМЗ-450Д.

Предмет исследования – процесс функционирования двигателя.

Цель исследования – анализ влияния одного из параметров двигателя на показатели его работы и получение соответствующей функциональной зависимости


ЗАДАНИЕ

Область планирования фактора X: Xmin = 0,012 м, Xmax = 0,055 м.

План проведения эксперимента:

№ опыта

xj

1 -1
2 -0,8
3 -0,6
4 -0,4
5 -0,2
6 0
7 0,2
8 0,4
9 0,6
10 0,8
11 1

Используя приведенные исходные данные и программу расчета функционирования двигателя, проанализировать влияние радиуса кривошипа (X) на величину максимальной температуры (Y) рабочего тела в цилиндре двигателя. Получить функциональные зависимости между указанными величинами.

ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Используя указанный в задании план проведения эксперимента в кодовом виде, а также область планирования фактора Х (Хmin, Хmax), подготовим план проведения данного однофакторного эксперимента.

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

.

где  - интервал (шаг) варьирования фактора;

 - натуральное значение основного уровня фактора;

 - кодированное значение фактора x;

- натуральное значение фактора в j-ом опыте, где j = 1, 2,…, N; N – число опытов.

В дальнейших расчетах будем использовать только натуральные значения факторов и функции отклика.

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ

Используя выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) проведем на ЭВМ необходимое количество опытов N. Полученные результаты представим в виде таблицы 1.

Табл. 1

№ опыта

Xj

Yj

1 0,012 3601,8348
2 0,0163 2712,4310
3 0,0206 2195,4343
4 0,0249 1855,3637
5 0,0292 1626,8644
6 0,0335 1461,2450
7 0,0378 1339,577
8 0,0421 1250,5135
9 0,0464 1173,9877
10 0,0507 1126,4606
11 0,055 1092,5573
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

Получим функциональную зависимость Y = f(X) (уравнение регрессии) с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих функций использовать линейную (Y = a0 + a1X) и квадратичную зависимости (Y = a0 + a1X + a2X2). Посредством МНК значения a0, a1 и a2 найдем из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Yj от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:

.

Проведем минимизацию суммы квадратов с помощью дифференциального исчисления, путем приравнивания к 0 первых частных производных по a0, a1 и a2.

Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида Y = a0 + a1X. Получим:

;

.


Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:

Решая эту систему, найдем коэффициенты a1 и a0:

; .

Для квадратичной зависимости Y = a0 + a1X + a2X2 система нормальных уравнений имеет вид:

Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 2.


Табл. 2

№ опыта

Xj

Yj

Xj2

Xj Yj

Xj2Yj

Xj3

Xj4

1 0,012 3601,8348 0,000144 43,222017 0,5186642 0,0000017 0,000000020736
2 0,0163 2712,4310 0,0002656 44,212625 0,7204216 0,0000043 0,0000000705433
3 0,0206 2195,4343 0,0004243 45,225946 0,9315227 0,0000087 0,0000001800304
4 0,0249 1855,3637 0,00062 46,198556 1,1503254 0,0000154 0,0000003844
5 0,0292 1626,8644 0,0008526 47,50444 1,3870645 0,0000248 0,0000007269267
6 0,0335 1461,2450 0,0011222 48,951707 1,6398091 0,0000375 0,0000012593328
7 0,0378 1339,577 0,0014288 50,63601 1,9139876 0,000054 0,0000020414694
8 0,0421 1250,5135 0,0017724 52,646618 2,2164101 0,0000746 0,0000031414017
9 0,0464 1173,9877 0,0021529 54,473029 2,52747781 0,0000998 0,0000046349784
10 0,0507 1126,4606 0,0025704 57,111552 2,8954543 0,0001303 0,0000066069561
11 0,055 1092,5573 0,003025 60,090651 3,3049858 0,0001663 0,000009150625
Σ 0,3685 19436,266 0,0143782 550,27311 19,206122 0,0006174 0,0000282173998

Для уравнения регрессии вида Y = a0 + a1X найдем коэффициенты a1 иa0:

.

.

Для уравнения регрессии вида Y = a0 + a1X + a2X2 найдем коэффициенты a1 , a2 иa0:

Решим систему нормальных уравнений способом Крамера:

 

.

.

.

 

Найдем определитель (det) матрицы:

.

; ;.

; ; .

РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ

Построим графики функций Y = a0 + a1X ; Y = a0 + a1X + a2X2 :


X 0,012 0,0163 0,0206 0,0249 0,0292 0,0335 0,0378 0,0421 0,0464 0,0507 0,055

Y=ao+a1X

2833,143

2619,9 2406,658 2193,415 1980,172 1766,929 1553,686 1340,443 1127,2 913,9573 700,7144

Y=a0+a1X+a2 X2

3215,923 2748,207 2330,714 1963,444 1646,397 1379,574 1162,973 996,5962 880,4424 814,5117 798,8043
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ

Для проверки адекватности модели определим абсолютные DYj и относительные погрешности  в каждом из опытов.

DYj =  - Yj; ,

где – расчетное значение функции (отклика) в j-ой точке.

Данные представим в виде таблицы 3.

Табл. 3

j

Y = a0 + a1X

Y = a0 + a1X + a2X2

DYj

DYj

1 -768,6918 -0,21342 -385,9118 -0,10714
2 -92,531 -0,03411 35,776 0,01319
3 211,2237 0,09621 135,2797 0,06162
4 338,0513 0,1822 108,0803 0,05825
5 353,3076 0,21717 19,5326 0,012
6 305,684 0,20919 -81,671 -0,05589
7 214,109 0,15983 -176,604 -0,13183
8 89,9295 0,07191 -253,9173 -0,20305
9 -46,7877 -0,0398 -293,5453 -0,25004
10 -212,5033 -0,1886 -311,9489 -0,27693
11 -391,8429 -0,35865 -293,753 -0,26887

Просматривая значения этих погрешностей, исследователь может легко понять, какова погрешность предсказания в точках, где проводились опыты, устраивают его или нет подобные ошибки. Таким образом, путем сопоставления фактических значений отклика с предсказанными по уравнению регрессии можно получить достаточно надежное свидетельство о точностных характеристиках модели.

С помощью анализа работоспособности регрессионной модели выясним практическую возможность ее использования для решения какой-либо задачи. Это анализ будем проводить, вычисляя коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения). Коэффициент детерминации R2 вычисляется по формуле:

  

 где  – общее среднее значение функции отклика.

.

Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 4.


Табл. 4

Y = a0 + a1X

Y = a0 + a1X + a2X2

j

1 3366863,62479 1136803,18835 1952571,23764
2 893965,95743 727552,24249 853898,13319
3 183613,13271 409247,73017 312848,71152
4 7819,94095 181886,66602 37616,467
5 19619,28834 45470,75597 14328,99238
6 93445,31841 0,00002 147047,20405
7 182633,3815 45474,39816 359786,00774
8 266689,37885 181893,9504 589419,20142
9 351584,44898 409258,65674 602866,06259
10 410205,24101 727568,0054 801506,847
11 454782,94891 1136822,67874 759273,70255
Σ 6231222,66188 5001978,27246 5732724,84892

Для уравнения регрессии Y = a0 + a1X:

Для уравнения регрессии Y = a0 + a1X + a2X2:

Т.к. в уравнениях регрессии  оба уравнения принято считать работоспособными. В уравнении регрессии вида Y = a0 + a1X + a2X2

, а в уравнении регрессии вида Y = a0 + a1X . Из этого следует, что в уравнении вида Y = a0 + a1X + a2X2 найденное значение регрессии лучше объясняет вариацию в значениях Y (N >> (d+1)), чем в уравнении вида Y = a0 + a1X.


ВЫВОД

В процессе выполнения контрольно-курсовой работы мы научились:

- разрабатывать план проведения вычислительного эксперимента;

- проводить вычислительный эксперимент на ЭВМ и накапливать статистическую информацию;

- обрабатывать полученные статистические данные с помощью регрессионного анализа и получать формульные зависимости, связывающие значение выходной переменной (отклика) объекта с входными переменными (факторами);

- графически представлять и анализировать полученные результаты (проверять адекватность и работоспособность регрессионной модели);

- вычислять коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения) и анализировать полученные результаты.


ЛИТЕРАТУРА

1. Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972.

2.Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. – Минск, 1982.

3.Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство. – М.: Наука, 1971.