Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y = arcsin(1/x)
Д(f): | 1/x | ? 1 ,

| x | ? 1 ,
( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )


Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є
[-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
Д(f): [-1;1]
Четная f(x) убывает на пр. [0;1] f(x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0. f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0.

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )

|X |0 |< x |1 |< x |+? |
| | |< | |< | |
|u=1/(x2-1|-1 |? |+ ? |? |0 |
|) | | |- ? | | |
|y=arctg(u|- |? |?/2 |? |0 |
|) |?/4 | |- ?/2| | |

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой- либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin(arcsin(x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

|Аргумент |arcsin(x) |arccos(x) |arctg(x) |arcctg(x) |
| | | | | |
|функция | | | | |
|sin |sin(arcsin(x))=|[pic] |[pic] |[pic] |
| |x | | | |
|cos |[pic] |x |[pic] |[pic] |
|tg |[pic] |[pic] |x |1 / x |
|ctg |[pic] |[pic] |1 / x |x |

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x)

[pic]

[pic]

Перед радикалом [pic]следует взять знак “+”, т.к. дуга
[pic]принадлежит правой полуокружности (замкнутой) [pic], на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

[pic]

2. Из тождества [pic]следует:

[pic]

3. Имеем

[pic]

4. [pic]

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение [pic]

Решение: Применяем формулу [pic], имеем: [pic]

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

[pic]

[pic]

Пример №3. Пользуясь ...
[pic]

Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Пример №5. Положив в формулах
[pic], и [pic]
[pic], получим:
[pic], [pic]

Пример №6. Преобразуем [pic]
Положив в формуле [pic], [pic]
Получим:

[pic]
Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга [pic]принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

[pic]

[pic]

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (-
?/2; ?/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга [pic]имеет синус, равный sin? и заключена, так же как и ?, в интервале (-?/2; ?/2), следовательно

[pic]

Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса:

[pic]

А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

[pic]

Так, например:

[pic]

[pic]

Аналогично:

[pic]

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

1. Выражение [pic][pic]через арктангенс.

Пусть [pic], тогда

[pic]

Дуга [pic], по определению арктангенса, имеет тангенс, равный [pic] и расположена в интервале (-?/2; ?/2).

Дуга [pic]имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2;
?/2).

Следовательно,

[pic] (1)

(в интервале ( -1 : 1 )

2. Выражение [pic]через арксинус.

Т.к. [pic], то [pic] (2) в интервале [pic]

3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства [pic]следует тождество

[pic] (3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция
(дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

[pic]

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга [pic] не может быть значением арксинуса. В этом случае

[pic]

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

4. Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть [pic], если [pic], то [pic]. Дуга имеет косинус, равный [pic], а поэтому [pic]

При [pic]это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

[pic], а для функции [pic]имеем: [pic] так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень [pic], т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Х>0 X 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. [pic]или

[pic]

Откуда

[pic] и, следовательно, [pic]

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

[pic]; но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

[pic] или [pic]

Случай 2. [pic]

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия [pic]получим [pic]

Случай 3. [pic]

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и [pic]

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

[pic] откуда [pic]

Дуги ? и [pic] имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) [pic], следовательно в случае 1 [pic]; в случае 2 [pic] и в случае 3 [pic].

Итак, имеем окончательно:

[pic] , [pic] или [pic]

[pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (1)

[pic]; x < 0, y < 0, и [pic]

Пример:

[pic]

[pic]; [pic]

2. Заменив в (1) x на –x получим:

[pic] , [pic] или [pic]

[pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (2)

[pic]; x < 0, y < 0, и [pic]

3. Выразить сумму [pic]через арккосинус

[pic] и [pic] имеем

[pic]

Возможны следующие два случая.

Случай 1: [pic]если [pic], то

[pic]

Приняв во внимание, что обе дуги [pic]и [pic]расположены в промежутке
[0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

[pic] и следовательно, [pic], откуда [pic]

Случай 2: [pic]. Если [pic], то

[pic], откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим [pic].
Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если [pic], а случай 2, если
[pic].

Из равенства [pic] следует, что дуги
[pic] и [pic] имеют одинаковый косинус.

В случае 1 [pic], в случае 2 [pic], следовательно,

[pic] [pic], [pic]

[pic], [pic] (3)

4. Аналогично
[pic] [pic], [pic]

[pic], [pic] (4)

пример: [pic]

5.

[pic]; xy < 1

[pic] [pic]; x > 1, xy > 1 (5)

[pic]; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла

6.

[pic]; xy > -1

[pic] [pic]; x > 0, xy < -1 (6)

[pic]; x < 0, xy < -1

7.

[pic]; [pic]

[pic] [pic]; [pic] (7)

[pic]; [pic]

8.

[pic] [pic]; [pic] (8)

[pic]; [pic]

9.

[pic]; [pic]

[pic] [pic]; x > 1 (9)

[pic]; x < -1

10. [pic] (10)

[pic] (11)

[pic] [pic] , если [pic] (12)

[pic], если [pic]

-----------------------
?/2

-?/2

0

1

-1

[pic]

[pic]

-1

1

0

x

?/2

y

x

y

y

x

[pic]

-1

1

0

?/2

?

[pic]

y

x

-1

1

0

y

x

-?/4

-1

1

0

-?/2

?/2

x

y

0

0

y

x

1

-1

x

y

1

-1

arcsin(x)

arccos(x)

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

1

-1

[pic]

X

Y

[pic]

-?

?

X

Y

[pic]

-?

?

0

Х

Y

[pic]