Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
2. Объем призмы.
1.Три случая расположения прямой и плоскости.
1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку ( ((
2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.
1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.((( a

2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В1С1с объемом V и высотой h.

Проведем такую высоту ?АВС (ВD) кот. разделит этот ?на 2 ?.

Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ?ABD и ВСD. Плэтому объем V1 и V2 соответственно равны SABD ·h и SВСD ·h. По св- ву 20 объемов V=V1+V2 т.е V= SABD ·h+ SВСD ·h=

(SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh.

Теорема доказана.

Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол = 1//2 ab то S?=ab =>V?= Sh ч.т.д.

Билет №5
1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)
2. Объем цилиндра.
1.Рассмотрим пл ? и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,( к пл ?, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл ?
.Отрезок АН называется, ( проведенным из т А к пл ?, a т Н — основанием (. Отметим в пл ? какую- нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной, про-вед из т А к пл ? , а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл

?. Сравним ( АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ?АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому

АН из всех расстояний от т А до различных т пл ? наименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина (, проведенного из т А к пл ? , называется расстоянием от т A до пл ?
Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn а в эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так как объем призмы Fn равен Snh, где Sn- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в свою очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn? n>?

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)
2. Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том только одна.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ).

Произвольное сечение конуса пл. , ( к оси Ох , является кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох.

Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ? ОМ1А1 и

ОМА=> что
|ОМ|=|R|, |x|=|R|отк|R| |так|S(x)=|,|S(|(R|
|1 | |1|ил| | |1|уда|=|x|как|(R12 |т|x)|2 |
| | | |и | | | | | |R| | |о|= | |
|ОМ| |R| |h| |R| | | | | | | | |
| | | | | | | | | |h| | | | |h2|

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим
| |h| | | |h| | | | |
| | | | | | | | | |h |
|V|?|?|x2|?|?|x2|?|(|x3|(|1|?R2|
|=| |R|dx|R| |dx|R| | |=| |h |
| | |2|= |2| |= |2| | | | | |
| | |h| |h| | |h| |3 | |3| |
| | |2| |2| | |2| | | | | |
| |0| | | |0| | | | |
| | | | | | | | | |0 |


Площадь S основания конуса равна (R2, поэтому V=1/3Sh.
Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3h(S·S1+? S·S1).

Билет №7

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Площадь боковой поверхности цилиндра.

1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем произвольную т. М1 пространства и проведем через нее прямые А1В1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD

Если ? между прямыми А1В1 и С1D1 =?, то будем говорить , что ? между скрещивающимися прямыми АВ и СD=?. Докажем теперь, что ? между прямыми не зависит от выбора т. М1 .

Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые

А2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1? А2D2 ,

С1D1? C2D2 , то стороны углов с вершинами в т.М1и М2 попарно сонаправлены ( ?А1М1С1 и ?А2М2С2 , ?А1М1D1 и?А2М2D2

) потому эти ? равны , ? что ? между А2В2и С2D2 так же

=?. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между прямыми A'B'и CD= ?

2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о , что все образующие оказались в одной плоскости ? . В результате в пл ? получится прямоугольник АВВ'А' .

Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2?r , AB-h, где г- радиус цилиндра

, h- его высота . за S бок цилиндра принято считать S её развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2?r•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула

S бок=2?rh

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)
2. Сложение векторов. Свойства сложения.

2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор
АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b . Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему вектором А1С1Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство

АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести- тельный з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти- оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор.

Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА

Билет № 10

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки , примеры)

2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число.
1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла. (( АОВ ) ОА(CD

CD(ОВ, то плоскость АОВ ( к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных (АОВ и (А1О1В1 . Лучи ОА и

О1А1 лежат в одной грани (к ОО1, поэтому они сонаправлены.

Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> ( А1О1В1 =(АОВ.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым (

90(, 90()

2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b , длинна которого равно (k(((a( , причем вектор a и b сонаправлены при k? 0 и противоположно направлены при k0 при а(0

20.ab=ba(переместительный з-н)

30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1?-4?относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть

, что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)

Билет № 12


1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)
2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную точку.

1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна .
Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки
Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1 через эти 3 точки проходит пл (. Т.к. 2 точки прямой РиН лежат в пл (., то по аксиоме А2 пл (.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т
М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл (., т.к по аксиоме
А1через 3 точки проходит только одна плоскость.

Билет № 13

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)
2. Теорема о боковой поверхности призмы.
1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник, если его боковые ребра (к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки, ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD

A1B1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и

A1B1C1D1 a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD1 ( к основаниям. Отсюда=>, что АА1(АВ, т. е. боковая граyь

АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани парал- да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.
2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.
Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

2. Теорема: S боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е его периметр P. Итак Sбок=Ph

S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph

Билет № 14

1. Пирамида(формулировка , примеры)

2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.
1. Пирамида. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1.

Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2…Аn и n тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник

А1А2…Аn назы-вается основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а отрезки РА1,РА2, …, РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду с основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn

–и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности

– сумму площадей её боковых граней

2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой

?. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема доказана.

Билет № 15

1. Цилиндр (формулировки и примеры)

2. Признак параллельных прямых.
1. Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскости ? и ? и окружность L с центром О радиуса r , расположенную в пл ?. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов образующих расположенных в пл ? заполним окружность

L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 , называется цилиндром.

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра

, прямая ОО1- осью цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ? к оси цилиндра , то сечение является кругом.

Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу .

Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о параллельных прямых.
Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой

?. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема доказана.

Билет №16

1. Конус (формулировки и примеры)
2. Признак параллельности прямой и плоскости
1.Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело, ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей

L, называется конусом .Коническая по-верх называется боковой поверхностью конуса, а круг - снованием конуса .

Т.Р называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие равны друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и вершину , называется Осью конуса . Ось конуса ? к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из его катетов. При этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы.

Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и называется осевым сечением. Если секущая плоскость ? к оси

ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром в т.О1 , расположенным на оси конуса. R1 этого круга равен

РО1/РО r , где r- радиус основания конуса , что легко усмотреть из подобия ?РОМ??РО1М1

2.Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема. Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой- нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной плоскости.
Д-во. Рассмотрим пл.?и 2|прямые a и b , расположенные так, что прямая b лежит в пл ?, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что ?|a. Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает пл ? , а значит по лемме о пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл ? . Но это невозможно , так как пр b лежит в пл ?. Итак пр a не пересекает пл ?, поэтому она |этой плоскости.

Билет № 17

1. Сфера, шар( формулировки, примеры)

2. Признак параллельности плоскостей.
Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен. пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки

Данная точка называется центром сферы (т О), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен

2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем H (вклю-чая и точку О), и не содержит других точек.

2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.

Д-во. Рассмотрим две плоскости ? и ?. В плоскости ? лежат пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости ? — прямые a1 и b, причем a||a1 и b||b1. Докажвм, что a||b.

Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости a||? и b||?. Допустим, что плоскости ? и ? не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с.

Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па- раллельную плоскости ?, и пересекает плоскость по прямой с.

Отсюда следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b, параллельную плоскости ?. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и ?|| ?. Теорема доказана.

Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)
2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного из них)

2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр- на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плос-кости.

Д-во. Рассмотрим 2 |а и а1 и пл ?, такую, что а(?. Докажем, что и а1(?.. проведем какую-нибудь прямую х в пл ?. Так как а(?, то а(х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных прямых к третьей а1(х. Т.о. прямая а1 ( к любой прямой , лежащей в пл ( т.е а1(?.

Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они параллельны.

Билет №20


1. Фрмула обьема шара( формула примеры)
2. Теорема о трех перпендикулярах
1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4/3 (R3
Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. (к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r
, а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=(OC2 –OM2 =(R2(x2.Так как S(x)=(R2 ,то S(x)=
((R2- x2). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R( x (R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
|V| R |(| |4| |
| |R R |x|R| | |
| |R |3| | | |
| |=?((R2-x2)dx= (R2? | |(| |(R|
| |dx-(?x2dx=(R2x(- | |=| |3 |
| | |3| |3| |
| | -R | |-| | |
| |-R -R | |R| | |
| |-R | | | | |

2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Д-во. Дана пл ? и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а- прямая, проведенная в пл ? через т м ( к проекции НМ наклонной. Докажем , что а (АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а (к этой пл, т.к она ( к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а

( НМ по условию и а (АН, т.к. АН( ?). Отсюда =>, что пр а ( к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности а(АМ
Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции