Вначале рассмотрим затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе всегда имеется сила трения (для механической системы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то колебания будут затухать.
Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.
. (1.1)

Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обусловлен тем, что сила F и скорость v направлены в противоположные стороны.
Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид
. (1.2)
Применим следующие обозначения
, (1.3)
Тогда
(1.4)
Где ?0 — собственная частота колебательной системы.
Будем искать решение уравнения в виде
(1.5)
Найдём первую и вторую производные


Подставим выражения в уравнение (1.5)

Сократим на



(1.6)

Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэффициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. ?